Objetivos Gerais:

1 - Identificar e construir espaços métricos e espaços normados completos. Identificar o completado de um espaço incompleto (métrico ou normado)
2 - Identificar espaços de Hilbert. Propriedades geométricas e conjuntos totais
3 - Identificar e construir operadores lineares em espaços normados. Construir e identificar espaços duais de espaços normados

Conteúdos / Programa:

1 - Espaços métricos: revisões
1.1 - Espaços métricos completos
1.2 - Espaços métricos completos e completados
1.3 - Aplicações contínuas entre espaços métricos
2 - Espaços normados e espaços de Banach
2.1 - Definição e exemplos de espaços normados e de Banach
2.2 - Bases de Schauder para espaços normados separados
2.3 - Espaços normados de dimensão finita
3 - Espaços de Hilbert
3.1 - Produto interno, espaço com produto interno e espaço de Hilbert. Exemplos
3.2 - Ortogonalidade
3.3 - (Des)igualdades clássicas: Cauchy-Schwarz, paralelogramo e polarização. Espaços de Hilbert isomorfos
4 - Operadores lineares
4.1 - Operador linear entre espaços normados. Exemplos
4.2 - Operador inverso
4.3 - Operador linear limitado e contínuo
4.4 - Norma de um operador linear limitado
4.5 - Restrição e extensão de um operador linear limitado
5 - Funcionais lineares
5.1 - Funcional linear limitado. Funcionais lineares em espaços de dimensão finita
5.2 - O espaço dos operadores lineares como espaço normado
5.3 - Espaço dual de um espaço normado

Bibliografia / Fontes de Informação:

E. Kreyszig , 1978 , Introductory Functional Analysis With Applications , John Wiley & Sons
M. Reed B. Simon , 1975 , Methods of Modern Mathematical Physics , Elsevier
Y. M. Berezansky, Z. Sheftel, G. F. Us , 1996 , Functional Analysis , Birkhäuser
B.P. Rynne, M.A. Youngson , 2008 , Linear Functional Analysis , Springer London
H. W. Alt , 2016 , Linear Functional Analysis: An Application-Oriented Introduction , Springer

Métodos e Critérios de Avaliação:

Tipo de Classificação: Quantitativa (0-20)

Metodologia de Avaliação:
A unidade curricular é de carácter teórico/prático pelo que a sua apresentação é feita de forma expositiva com apresentação de exemplos e exercícios propostos. Problemas de investigação adequados ao nível de ensino são lançados durante o curso. O modelo de avaliação é o A onde cada uma das duas frequências vale 50% da classificação final. No recurso podem recuperar 100%.