Objetivos Gerais:

1 - Estimular e desenvolver as capacidades de raciocínio, rigor, dedução e abstração.
2 - Introduzir o estudo da Topologia Geral, por forma a que o aluno consiga generalizar a espaços abstratos os conceitos topológicos usuais (continuidade, sucessões, convergência, compacidade, conexidade, etc) e os teoremas fundamentais introduzidos em disciplinas anteriores em espaços de dimensão finita.
3 - Familiarizar os alunos com as provas dos resultados e exigir o conhecimento de parte delas.

Conteúdos / Programa:

1 - Espaços Topológicos
1.1 - Topologia num conjunto. Noção de espaço topológico
1.2 - Conjuntos abertos e fechados
1.3 - Espaço topológico de Hausdorff
1.4 - Topologias comparáveis
1.5 - Interior, exterior, fronteira, fecho e derivado de um conjunto
1.6 - Conjunto denso
1.7 - Espaço topológico separável
1.8 - Vizinhança de um ponto e vizinhança de um conjunto
1.9 - Sistema fundamental de vizinhanças
1.10 - Espaço topológico regular
1.11 - Base de uma topologia
1.12 - Axiomas da numerabilidade
2 - Continuidade e Limites
2.1 - Funções contínuas: continuidade num ponto e continuidade num conjunto
2.2 - Teoremas fundamentais sobre a continuidade
2.3 - Homeomorfismo
2.4 - Limites. Teorema da unicidade do limite
2.5 - Sucessões. Sucessão convergente num espaço topológico
2.6 - Caraterização da topologia por sucessões
2.7 - Fecho sequencial. Conjunto sequencialmente fechado
2.8 - Continuidade sequencial
3 - Espaços Métricos
3.1 - Métrica num conjunto. Noção de espaço métrico
3.2 - Bola aberta, bola fechada e esfera
3.3 - Conjunto limitado. Função limitada
3.4 - Topologia associada à métrica
3.5 - Convergência de sucessões num espaço métrico
3.6 - Métricas equivalentes
3.7 - Espaço topológico metrizável
3.8 - Caracterização da continuidade em termos de métricas
3.9 - Continuidade uniforme
3.10 - Função lipschitziana
3.11 - Espaços funcionais: convergência pontual e convergência uniforme de sucessões de funções
3.12 - Topologia da convergência uniforme
3.13 - Métricas produto
3.14 - Desigualdades de Young, de Holder para somas finitas, de Cauchy-Schwarz para somas finitas e de Minkowski para somas finitas
4 - Compacidade
4.1 - Cobertura aberta de um conjunto
4.2 - Propriedade de Heine-Borel-Lebesgue
4.3 - Espaço topológico compacto
4.4 - Teoremas sobre compacidade: funções contínuas em espaços compactos
4.5 - Espaço sequencialmente compacto
4.6 - Espaço localmente compacto
4.7 - Compactificado de Alexandroff
4.8 - Compacidade em espaços métricos
4.9 - Teorema de Bolzano-Weierstrass
4.10 - Caracterização dos compactos de IR
5 - Conexidade
5.1 - Espaço topológico desconexo
5.2 - Espaço topológico conexo
5.3 - Funções contínuas em espaços conexos
5.4 - Caracterização dos conexos de IR
5.5 - Espaço conexo por arcos
5.6 - Espaço localmente conexo
5.7 - Espaço localmente conexos por arcos

Bibliografia / Fontes de Informação:

N. Bourbaki , 1990 , Topologie Générale , Masson
M. Hichem Mortad , 2016 , Introductory Topology: Exercises and Solutions , WSPC
C. Gustave , 1966 , Topology , Academic Press
C. Michael , 1990 , Elementary Topology , Dover
J. Kelley , 1975 , General Topology , Springer
L. Loura , 2001 , Curso de Topologia Geral , UMa
J. Munkres , 1975 , Topology: a first course , Prentice-Hall
L. Schwartz , 1971 , Topologie Générale et Analyse Fonctionnelle , Hermann
P. Alexandroff , 1984 , Topologie , Springer

Métodos e Critérios de Avaliação:

Tipo de Classificação: Quantitativa (0-20)

Metodologia de Avaliação:
Exposição oral e escrita dos conteúdos programáticos da unidade curricular. Discussão e resolução de exercícios e problemas de aplicação em pequenos grupos ou individualmente. Realização de duas frequências (com peso de 50% cada) a resolver individualmente durante a época normal. Desta forma, o aluno pode, ao longo do semestre, avaliar o seu desempenho e mudar estratégias caso seja necessário. Na época de recurso, os alunos podem recuperar a nota de uma das frequências ou, em alternativa, o exame completo, isto é, podem recuperar a totalidade da matéria. A importância deste exame, além dos objectivos de avaliação, incide na capacidade do aluno em relacionar diferentes partes da matéria.