Objetivos Gerais:

O1 - Domínio das noções e resultados fundamentais no anel dos inteiros, nos anéis de polinómios numa indeterminada e nos anéis de polinómios a várias indeterminadas.
O2 - Identificar as semelhanças entre a estrutura algébrica do anel dos inteiros e a dos anéis de polinómios numa indeterminada sobre um corpo.
O3 - Possuir conhecimentos teóricos e práticos que servem de base a áreas da Matemática como a Álgebra Comutativa, Geometria Algébrica e Teoria Algébrica dos Números.
O4 - Saber usar um Sistema de Álgebra Computacional para construir exemplos e resolver problemas.
O5 - Aquisição competências de investigação, de escrita e de comunicação oral.

Conteúdos / Programa:

1 - O anel dos inteiros: Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Algoritmo de Euclides. Lema de Bezout. Factorização: Teorema Fundamental da Aritmética. Ideais. Congruências. Anéis Cocientes. Domínio de Ideais Principais. Domínios Euclidianos.
2 - Anéis de polinómios numa determinada: Séries formais e Polinómios. Funções polinomiais. Algoritmo da divisão. Teorema Fundamental da Álgebra. Factorização: polinómios irredutíveis e domínios de factorização única.
3 - Teoria de Galois: Extensões de Corpos. Grupo de Galois. Correspondência de Galois. Resolução de equações algébricas por radicais.
4 - Anéis de polinómios a várias indeterminadas: Ordens monomiais. Algoritmo da divisão para polinómios a várias indeterminadas. Teorema da Base de Hilbert. Bases de Gröbner e Algoritmo de Buchberger. Hilbert Nullstellensatz e sistemas de equações polinomiais.

Bibliografia / Fontes de Informação:

Thomas W. Hungerford , Algebra. , Springer Verlag
R.L. Fernandes, M. Ricou , 2004 , Introdução à Álgebra , IST Press
David Cox, John Little, Donal O'Shea , 2006 , Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commuta , Springer-Verlag
Ian Stweart , 1989 , Galois Theory , Chapman and Hall

Métodos e Critérios de Avaliação:

Tipo de Classificação: Quantitativa (0-20)

Metodologia de Avaliação:
As aulas teóricas serão usadas para introduzir os conceitos, resultados e métodos ao aluno. Serão disponibilizados, em forma de sebenta, os apontamentos teóricos. Nas aulas teórica-práticas, o aluno resolverá as folhas de exercícios fornecidas pelo docente, de forma individual ou em grupo. Estas aulas decorrerão numa sala equipada com computadores onde o aluno terá acesso a um Sistema Computacional de Álgebra (e.g., SAGE) que irá usar como auxiliar na resolução de problemas. A avaliação é feita através de duas frequências, ambas com um peso de 35% na nota final, e de um trabalho, a entregar no final do semestre, com um peso de 30% na nota final. O trabalho, a entregar no formato de artigo, será sujeito a uma apresentação oral por parte do aluno.