Objetivos Gerais:

1 - Estimular e desenvolver as capacidades de raciocínio, rigor, dedução e abstracção. Munir os alunos de técnicas de cálculo elementares para serem utilizadas como ferramentas matemáticas em disciplinas posteriores.
2 - Estudar as bases da teoria das Séries, com as correspondentes aplicações a problemas concretos adequados às diversas áreas do conhecimento.
3 - Estudar os fundamentos da teoria das Equações Diferenciais, com as correspondentes aplicações a problemas concretos adequados às diversas áreas do conhecimento.
4 - Generalizar ao espaço Complexo os resultados da Análise Real, nomeadamente os conceitos de limite, continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade.

Conteúdos / Programa:

1 - Séries: Definição de série numérica. Termo geral de uma série. Sucessão das somas parciais. Noção de convergência e de divergência de uma série. Série geométrica: teorema sobre a convergência de uma série geométrica. Série harmónica. Corolário do critério geral de Cauchy. Teoremas fundamentais sobre a convergência de séries. Séries de Dirichlet: convergência de uma série de Dirichlet. Séries de termos não negativos. Critérios de convergência: critério de comparação, critério da razão, critério da raiz, critério de comparação do limite. Séries de termos sem sinal fixo: critério de Leibnitz. Convergência absoluta. Séries de potências: domínio de convergência, raio de convergência e intervalo de convergência. Teorema sobre a convergência de séries de potências.
2 - Equações Diferenciais Ordinárias: Definições: equação diferencial (ED), equação diferencial ordinária (EDO), equação diferencial parcial ou equação em derivadas parciais (EDP). Noção de ordem e grau de uma EDO. Solução geral e particular de uma ED. Interpretação geométrica de uma ED: trajetórias ortogonais e oblíquas. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem: equações de variáveis separáveis; equações diferenciais exatas: factor integrante; equações homogéneas; equações lineares: método da variação das constantes. Equações diferenciais lineares de ordens superiores a um.
3 - Sistemas Lineares de Equações Diferenciais Ordinárias: Noção de sistema de equações diferenciais de primeira ordem e de sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Transformação de uma ED linear num sistema linear de 1ª ordem e vice-versa. Sistemas diferenciais lineares homogéneos de 1ª ordem de coeficientes constantes: resolução algébrica. Sistemas diferenciais lineares não homogéneos de 1ª ordem de coeficientes constantes: método da variação das constantes.
4 - Equações Diferenciais Parciais: Equações às derivadas parciais de primeira ordem: solução de uma EDP de 1ª ordem de coeficientes constantes. Equações diferenciais parciais de 2ª ordem: solução de uma EDP de 2ª ordem linear de coeficientes constantes apenas com derivadas parciais de segunda ordem. Método da separação de variáveis. Princípio da sobreposição de soluções.
5 - Análise Complexa: Números complexos e operações: representação de um número complexo, radiciação. Funções de variável complexa: noções de limite, continuidade e diferenciabilidade. Condições de Cauchy-Riemann. Função harmónica. Ponto regular e ponto singular. Integrais de linha: Teorema de Cauchy. Representação integral de uma função e das suas derivadas: aplicação da representação integral de Cauchy à série de Taylor. Séries de Laurent. Noção de resíduo e cálculo de resíduos. Teorema dos resíduos. Aplicação ao cálculo de integrais reais.

Bibliografia / Fontes de Informação:

Barreira, L. , 2009 , Análise Complexa e Equações Diferenciais , IST Press
Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. , 1992 , Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th Edition , Jonh Wiley & Sons
Campos Ferreira, J. , 1993 , Introdução à Análise Matemática, 4ª Edição , Ed. Fundação Calouste Gulbenkian
Braun, M. , 1993 , Differential Equations and Their Applications , Springer
Hoffman, M. J. and Marsden, J. E. , 1987 , Basic Complex Analysis , W. H. Freeman and Company
Rudin, W. , 1976 , Principles of Mathematical Analysis , McGraw-Hill
Tiernet, J. A. , 1989 , Differential Equations , Wm. C. Brown Publishers
Wylie, I. C. R. and Barrett, L. C. , 1982 , Advanced Engineering Mathematics, 5th Ed. , McGraw-Hill International Editions
G. F. Simmos, S. G. Krantz , 2007 , Equações Diferenciais, Teoria, Técnica e Prática , McGraw-Hill
Rudin, W. , 1987 , Real and Complex Analysis, 3rd Ed. , McGraw-Hill Book Company

Métodos e Critérios de Avaliação:

Tipo de Classificação: Quantitativa (0-20)

Metodologia de Avaliação:
Exposição oral e escrita dos conteúdos programáticos da unidade curricular. Discussão e resolução de exercícios e problemas de aplicação em pequenos grupos ou individualmente. Realização de duas frequências (com peso de 50% cada) a resolver individualmente durante a época normal. Desta forma, o aluno pode, ao longo do semestre, avaliar o seu desempenho e mudar estratégias caso seja necessário. Na época de recurso, os alunos podem recuperar a nota de uma das frequências ou, em alternativa, o exame completo, isto é, podem recuperar a totalidade da matéria. A importância deste exame, além dos objectivos de avaliação, incide na capacidade do aluno em relacionar diferentes partes da matéria.